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标  题: 小波分析及其在控制中的应用:进展与展望
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小波分析及其在控制中的应用:进展与展望

 计算机自动测量与控制
COMPUTER AUTOMATED MEASUREMENT & CONTROL
1999年 第7卷 第4期 Vol.7 No.4 1999



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小波分析及其在控制中的应用:进展与展望

刘湘黔 张霖

  小波分析(Wavelet Analysis)是80年代以来从Fourier分析的基础上发展起来
的一种新的时域-频域分析方法,是调和分析-现代Fourier分析的重大突破,被誉
为Fourier分析发展史上的里程碑。虽然它出现不过十几年时间,但已成为众多学
科共同关注的热点。从信号与图像分析、量子场论、音乐、雷达、CT成像、彩色复
印、流体湍流、天体识别、地震信号处理、计算机视觉与编码、语音合成和分析、
信号的奇异性检测与谱估计、分形以及数字电视等许多方面都能看到它的成功应用

  小波分析的纯数学理论及其在工程和自动化领域应用的研究,目前正处于蓬勃
发展的阶段,每个月都有大量新的文献涌现。小波本身的理论至今已包括连续小波
变换,小波标架,小波正交基与多尺度分析,斜交小波基,周期小波,小波包和快
速小波变换,小波变换与滤波器组等许多大的组成部分,它的应用又是各种各样。
限于篇幅在此只简单介绍小波分析最基本的内容及其在控制中的有关应用,对其它
内容有兴趣的读者可参阅文末所附的参考文献以及它们所引用的文献。

1 小波理论产生的背景及其基本内容
  经典的Fourier分析只适用于确定性的平稳信号,对于那些突变信号和非平稳
信号就难以获得希望的结果;同时,它分析的基础依赖于整个信号,甚至于将来的
信息,这实际上有时候是不可能的;还有,如果信号的某个局部有所改变,整个分
析过程必须重新开始;最后,它在时域中没有任何分辨力一变换F(w)在任何有限频
段上的信息都不足以确定在任意小范围内的函数f(t)。而在不少实际问题中,人们
常常对信号的局部特征感兴趣。例如,在音乐和语音信号中,人们关心的是什么时
候演奏什么音符,有什么样的音节。这些现象用经典的Fourier变换都不能刻画出
来。为了克服这一缺陷,人们提出了许多试图解决这一问题的办法,其中窗口
Fourier变换是影响最大和取得广泛应用的一种。窗口Fourier变换是一种局域化的
时频分析方法,直观上看它是信号f(t)在时刻q的某个小领域上的局限包含频率为
p的信息有多少的一种度量。只要适当地选取窗口函数,我们就可以用窗口
Fourier变换来分析信号的局部性质,从而克服了经典Fourier分析不能分析小范围
内信号的缺点。但是,窗口函数一经选定,其窗口大小也随之确定,这样如果信号
有短时(相对于窗口)高频成分,用窗口Fourier变换也难以获得希望的结果。为了
克服这一缺陷,同时考虑到人们在处理信息时自身的特点,即希望在低频段用高的
频率分辨率和低的时间分辨率,而在高频段用低的频率分辨率和高的时间分辨率,
人们提出了小波变换。
1.1 连续小波变换
  小波分析的基本思想是用一族函数去表示或逼近信号或函族函数去表示或逼近信号或函
数,这一族函数是通过一基本小波函数Ψ(t)(母小波
函数)的不同尺度的平移和伸缩构成:

函数族{Ψa,b(t)}称为小波,它是一个双参数带通滤波器,参数a称为尺度参数,
它改变滤波器的频带宽度,从而决定了小波变换中的频率信息。参数b称为位置参
数,它决定了变换结果中的空域或时域信息。作为母小波,必须满足容许条件。函
数Ψ(t)必须满足平方可积,且无直流分量。确定了母小波函数Ψ(t)以后,函数
f(t)∈L2(R)连续小波变换至今有如下几种形式:
  (1)经典的小波变换

由于上式中t、a和b都是连续变量,因此称为连续小波变换。
  (2)改进的小波变换

WTf(a,t)=f(t)*(1/a)Ψ(t/a)

  (3)进一步改进的小波变换

WTf(a,t)=f(t)*(1/ap)Ψ(t/a)

若p=1/2即为经典的小波变换,若p=1即为改进的小波变换。
  (4)方向小波变换



其中                                                                 是
三维空间的一条直线。

我们应当看到,函数族{Ψa,b(t)}不是正交的,其冗余性很大,此外小波基也不是
唯一的,只要满足容许条件即可定义特定信号的小波基。
1.2 离散小波变换与小波标架
  小波变换可通过对其伸缩尺度a和平移尺度因子b的采样而离散化从而得到离散
小波变换。离散小波变换也是一种时频分析。但是应当指出,窗口Fourier变换从
连续到离散化与Fourier变换从连续(CFT)到离散(DFT)本质上不同,小波变换也是
如此。
1.3 小波正交基与多分辨率分析
  所谓的多分辨率分析,就是多滤波档分析,多尺度分析。它为构造正交小波基
提供了统一的方法。
  空间的多分辨率分析是将L2(R)分解成一系列子空间Vj:

其中,Vm→L2(R),m→-∝,Vj-1=VjWj,""表示Vj和Wj的直和,Wj称为Vj的正交补
空间。Vj是由一低通特性的光滑函数φ(t)生成(光滑意味着φ(t)连续可微):

,K为整数

所有小波Ψj,K的集合{Ψj,K}构成空间的一组正交基。将L2(R)分解成一系列子空
间Vj有几点好处。第一点各个子空间Vj中的函数带宽是不同的,即子空间Vj中的函
数分辨率是随j的变化而变化的。
  从信号处理的角度讲,这种分解过程,就是将信号f(t)进行多滤波档分析,有
利于从部分信号中进行信息的提取与再加工。第二点,这种分解使得对小波变换系
数的计算变得容易。
1.4 斜交小波基
  对给定的多尺度分析生成元φ,不施行正交化手续,直接构造相应的(斜交)小
波基元Ψ,使得由Ψm,n所张的空间Wm构成L2的分解。在斜交小波基理论中,一个
重要的问题是寻找多尺度分析的共轭(于Ψ的)生成元及小波基的共轭生成元。
1.5 周期小波与多元小波
  周期小波是有限区间上的正交小波,其中尺度函数和小波函数是以1为周期的
函数。在空间信号的处理上都要用到多元小波。多元小波可用来处理多元函数。
1.6 小波包与快速小波变换
  小波包是为了进一步提高频率分辨率,建立最好基选择原则,给出具体运算步
骤而发展起来的一种数学工具。小波包具有划分较高频率倍频程的能力,从而提高
了频率的分辨率,能获得更好的频域局域化。一般而言,小波包分析包括小波基包
和小波框架包,他们由一个给定的多分辨分析出发采用滤波的观点建造出许许多多
的基库。
  1988年Mallat在Burt和Adelson图像分解和重构的塔式算法启发下,基于多分
辨分析框架,建立了小波快速算法--Mallat算法,它在小波分析中的地位相当于
FFT在经典Fourier分析中的地位。Mallat算法可同时得到信号在不同分辨率要求下
的模糊象和不同分辨率的分量。同时它的数据存储量比传统的Laplace塔形算法减
少一半。

2 小波分析在自动控制中的应用
  正如前面所指出的那样,小波最吸引人的特点就是时频定位和多尺度近似能力
。小波可能将在自动控制的下述分支得到应用。
2.1 自适应控制
  许多化学工程系统具有不同时间尺度的系统行为,以自适应的观点分别考虑这
些行为是必要的,小波具有多尺度能力,可用来考虑这一问题。
2.2 鲁棒控制
  许多的控制理论是频域表述的,然而许多控制器的设计方法在时域描述时最为
吸引人。如时域的MPC可以考虑非线性和控制变量的限制。频域方法如H∝理论在控
制器设计时可以很方便地考虑模型不确定性,但不能显式地考虑时域的指标,如上
升时间。因而有必要同时考虑时域和频域的方法。由于小波具有时频同时分析的能
力,因此有理由相信小波将是这一新方法的有力工具。
2.3 非线性控制
  利用小波基函数求解非线性常微分方程和偏微分方程是最近许多工作的焦点。
小波函数的多尺度近似特性最利于定位近似解的期望区域。
2.4 过程辨识
  许多的系统辨识技术可以表示成基集上的投影。基集的性质极大地决定了辨识
模型的有效范围。小波所具有的特征提取能力使之成为系统辨识的有力工具,这方面已有相
当多
的工作。
2.5 神经网络
  小波神经网络能在一定程度上克服神经网络维数灾难及拓扑结构学习等方面存
在的一些困难。其研究至今主要集中在两个方面:1)利用小波所具有的时频定位能
力,提出新的网络结构和学习算法以克服神经网络本身所遇到的困难;2)利用已有
的小波神经网络解决控制中的实际问题,而且主要集中在与辨识有关的问题上。

3 结论
  虽然小波已取得巨大的发展,但专家预言小波分析的真正高潮尚未到来。主要
原因如下:(1)小波理论上不完善,除一维小波理论比较成熟外,高维小波,向量
小波的理论还远非人们所期待的那样,特别是研究各类小波,如正交小波,双正交
小波基向量小波,连续小波,二进小波,离散小波以及非交换域上正交小波的构造
和基本性质;(2)最优小波基的选取方法研究。现在国内外虽有一些最优基选取方
法,但缺乏系统规范的最佳小波基的选取方法,即针对不同的问题能最优地选取不
同的小波基以实现最好的应用效果。(3)小波分析的应用范围虽然很宽广,但真正
取得极佳应用效果的领域并不多,人们正在挖掘有前景的应用领域。(4)目前小波
分析软件远不如有限差分方法,有限元方法,边界元方法等软件成功和完善,更无
大型权威系统的小波分析软件,作为商品的高水平小波分析软件基本没有;(5)小
波分析在数据图像的边缘检测,分类与描述中的应用;(6)要求研究神经网络的混
沌模型及其非线性动力学行为,以及基于神经网络的智能信息处理技术,并能将模
糊计算,进化计算与神经网络结合进行研究。要在这方面研究取得突破没有小波的嵌入
看来是很困难的;(7)非线性科学正呼唤小波分析的加入。
  我们应当指出,作为一种新的分析工具,小波变换的应用受到一定的限制,这
是因为小波的选择是个很重要的问题,如果小波选择不当,小波变换并不能给我们
带来多大的好处。小波分析来自Fourier分析,小波函数存在性的证明依赖于
Fourier分析,它的思想也来源于Fourier分析。因此,它不能完全替代Fourier分
析,但它是Fourier分析的新发展。它与Fourier分析的相辅相成,必将为数学与工
程应用提供新的强有力的工具。

作者简介:刘湘黔(1971-),男,湖南祁东县人,博士研究生,主要研究时滞系统
,鲁棒控制和小波分析等。
作者单位:清华大学 自动化系,北京 100084

参考文献
[1] 刘湘黔,张霖.小波分析及其在自动控制中的应用:进展与展望[R].清华
大学自动化系研究报告.1996.
[2] 张霖,刘湘黔.基于小波变换的控制系统分析与设计方法[R],国家自然科
学基金资助项目研究报告.1998.1.

收稿日期:1999-04-09





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