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发信人: yaoguang (鳐光), 信区: CMCS
标 题: 高中以后学什么数学(strongart)
发信站: 荔园晨风BBS站 (Thu Jun 4 17:12:45 2009), 站内
如果你喜欢数学，那么上大学就一定要报数学专业，其他专业即使是理工科的，学的高等数
学之类也仅仅是一层皮毛。除非你能够顽强的自学，否则你的数学生涯就GAME OVER了。当
然，即使你报了数学专业，到最后还是要依靠自学。从这个意义上来说，报什么专业就真的
无所谓了，只要负担轻就OK了。
下面的图表简单罗列了高中以后的数学到底可以走到哪里（并未涉及数论、集合论之类
的另类领域）,也许你会感到有点恐怖，其实我大学时数学大致就学了这些：因为那时候没
有人交流，也不是太懂得节约时间。可遗憾的是有些不怎么认真数学专业研究生，也无非是
在一两个方向入门罢了： [IMG]
http://mcs.szu.edu.cn/attach/4B154392-870A-4D7F-8729-F1A4ED944308[/IMG]
高中以后的数学（当然是专业的）课程要大致由三个部分组成，分析、代数和几何，但
我认为现行的教育安排是非常失衡的。大致说来是，数学分析太臃肿，高等代数没前途，解
析几何又太狭隘。下面我就结合自己的经历来谈谈这个问题：
先来看分析，很多同学都认为数学分析难学，因为它涉及的东西太多太琐碎了。既有各
种初级计算技巧，甚至包括近似估计；又有深刻的理论推导，有时还一些先进的思想压缩到
初步的理论中，却不能充分展开。我那时就是疲于应付，最后还是不得不退化为微积分，却
又往往有所顾及，不像头脑简单的时候可以肆无忌惮的享受着计算的快乐。其实实数公理部
分的不少证明细节得到平面点集拓扑才能充分展开（毕竟圆盘的覆盖要比区间的覆盖更加直
观一些），又如像一致收敛这样的概念到函数空间中用确界范数才能自然理解的，而这一切
都被压缩到数学分析之中。
要解决这个困难，比较方便的办法的把数学分析分成两个部分，初等的部分相当于稍微
严格的微积分，还可以把初步的微分方程与曲线曲面理论放入其中，重在对具体问题的解决
与计算技术的熟练化（以后就用不着再害怕计算了）。我想，在彻底严格化之前先做一番计
算练习，这应该是非常有趣的。等有了这样的微积分基础之后，同时严格抽象的思想也已经
从代数学中建立起来，这是就可以把它们汇合起来，向分析的主干挺进。此时的自由度也相
应提高，再介绍一点初等拓扑、范数内积、Lebesgue积分、外微分什么的也都是不错的课题
，对多变量的情形也可以用向量来统一处理，甚至还可以把关于复函数的初步理论吸收进来
。
然后看代数，高等仿佛没有什么后续课程的支持，矩阵论似乎往往与近似计算结合起来
，从而更侧重应用。所以如果说到基础的话，无无疑应该是抽象代数才对。如果四年学下来
，就大致了解一些群、环、域，没看到后面更加精彩的内容，恐怕就非常可惜了。我认为为
高等代数应该被吸收到抽象代数里，数学专业的代数学一开始就应该讲群，让学生看到数学
结构是怎样抽象出来的，也能熟悉如何在抽象的基础上分析问题。这里选代数作为培养抽象
思想的突破口是因为它比较纯洁，不像分析那样依赖很多计算，而且也不用多少背景知识。
如果以后再处理初等材料的话，自然就有居高临下的优越感，而线性代数的主要部分自然可
以在模的角度来统一处理（高等线性代数），具体依赖数域的部分则可以作为专题——有所
得就有所失，抽象也不是万能的啊！此外，先介绍群还可以作为几何学的预备知识。当然，
一开始的介绍不宜太深入，作为基础至多到Sylow定理就可以了，后面还有专门的异常丰富
的抽象代数课程呢。
几何的话，很多人认为入门的几何就是解析几何，但现有解析几何往往只是在熟悉常见
曲面方程。其实，解析几何的概念可以推广至微分几何之前几何（包括现在所谓高等几何中
非介绍性的部分），其要点在于强调群作用观点与射影空间的直观。群作用观点可以给出几
何学的大体的框架，让我们知道自己是在什么舞台上活动，这样的舞台可以一直渗透到微分
几何中。射影空间则可以与熟悉欧式空间相类比，对以后的代数几何也是一种直观，否则我
们往往无从得知自己的把什么东西在代数化。比如我那时没注意射影几何，看到“P^2的任
意两条直线都是相交的”的时候，就感到无所适从了。
微分几何一定要尽早介绍流形，其实放到第一章也是无妨的。在熟悉了平直的欧式空间
之后（多变量分析），推广到一般的流形上也是大势所趋，并没有什么太大的跳跃。此后就
可以在这样框架下介绍直线与曲面，其实R^3中的很多问题在一般的空间中一样可以处理（
比如测地线方程之类都是差不多的），像高中那样用两年时间研究平面二次曲线（还不包括
一般理论）实在是太奢侈了。如果在R^3中有趣的东西都可以专门处理，也可以让大家清楚
到底它们为什么是有趣的。记得我那时R^3的微分几何都忘得差不多了，黎曼几何不也一样
在学嘛。
其实，有些观点高的东西并不一点是难学的，有的东西难学恰恰是用低观点来解决高级
领域的问题造成的。也许又有人会谈基础的重要性，但真要强调基础的话，各人的基础都是
相对有差异的，不排除某些牛人能把范畴同调之类的作为他自己的基础。合理的学习路径应
该是从最容易入手的地方切入，看看最后究竟能够走到哪里，所以不要让我们的学生长时间
滞留那些初等的领域。只要有可能，就要尽可能的扩展与深入，然后才能找到自己的基础，
并且在这样基础上继续前进，毕竟上面的那张宏伟的图表也仅仅是入门而已。
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