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发信人: fengzhiying (风之影), 信区: CMCS
标 题: 拓扑学（zz）
发信站: 荔园晨风BBS站 (Mon Nov 6 21:26:40 2006), 站内
拓扑学的由来
几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。有关拓扑学的
一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中
占着重要的地位。
在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发
展史的重要问题。
哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八
世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这
上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。这个问
题看起来很简单有很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没
有做到。看来要得到一个明确、理想的答案还不那么容易。
1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快
就用一种独特的方法给出了解答。欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸
分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，能不
能用一笔就把这个图形画出来。经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都
走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件
。这是拓扑学的“先声”。
在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关
。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有
这样的关系：f+v-e=2。
根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它
们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。
著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题。四色问题又称四色猜想，是世
界近代三大数学难题之一。
四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科
研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜
色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。”
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是
四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想
的大会战。1878～1880年两年间，著名律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四
色猜想的论文，宣布证明了四色定理。但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普
的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。于是，人们开始认识到，这个貌
似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。电
子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色
猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的
电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。不过不
少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法
。
上面的几个例子所讲的都是一些和几何图形有关的问题，但这些问题又与传统的几
何学不同，而是一些新的几何概念。这些就是“拓扑学”的先声。
什么是拓扑学？
拓扑学的英文名是Topology，直译是地志学，也就是和研究地形、地貌相类似的有
关学科。我国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换
群下的几何学”，但是，这几种译名都不大好理解，1956年统一的《数学名词》把它确
定为拓扑学，这是按音译过来的。
拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同
。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量
性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。
举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完
全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论
它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、
形状都可以改变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就
不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。
拓扑性质有那些呢？首先我们介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性质。
在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆
和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。左图的三样东
西就是拓扑等价的，换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。
在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成
许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。一
般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变幻，
就存在拓扑等价。
应该指出，环面不具有这个性质。比如像左图那样，把环面切开，它不至于分成许
多块，只是变成一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面
。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。
直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。在拓
扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。
我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家
莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来
涂满两个侧面。
拓扑变换的不变性、不变量还有很多，这里不在介绍。
拓扑学建立后，由于其它数学学科的发展需要，它也得到了迅速的发展。特别是黎
曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进
展。
二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究
就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用
集合来论述。
因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。
通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。本世纪
三十年代以后，数学家对拓扑学的研究更加深入，提出了许多全新的概念。比如，一致
性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。有一门数学分支叫做微分几何，是用微
分工具来研究取线、曲面等在一点附近的弯曲情况，而拓扑学是研究曲面的全局联系的
情况，因此，这两门学科应该存在某种本质的联系。1945年，美籍中国数学家陈省身建
立了代数拓扑和微分几何的联系，并推进了整体几何学的发展。
拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用
分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用
代数方法来研究的，叫做代数拓扑。现在，这两个分支又有统一的趋势。
拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程额其他许多数学分支中都有广泛
的应用。
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