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发信人: fengzhiying (风之影), 信区: CMCS
标  题: 中国数学发展之我见---丘成桐
发信站: 荔园晨风BBS站 (Fri Dec  8 14:26:48 2006), 站内

中国数学发展之我见

                                丘成桐



我们要谈中国数学的未来发展,先看一下我们的过去,我们中国人习惯
上讲自己很了不起,事实上,中国古代数学主要贡献在计算及其实用
化,我们算圆周率算得位数很高,但是对数学理论没有系统化的研究,
基本上抗拒几何学的逻辑结构和发展抽象代数。在我看来,它们在中国
从来没有生过根。我们对传统的科学有不合理的热爱,结果不能接受新
的观念,也不能对应用数学作出贡献。虽然我们对应用数学有疯狂的热
情,由于我们不愿意学习基本的、有系统化的数学理论,结果对应用数
学也不能做出伟大的贡献。

中国近代数学能超越西方或与之并驾齐驱的主要有三个,当然我不是说
其他工作不存在,主要是讲能够在数学历史上很出名的有三个:一个是
陈省身教授在示性类(characteristic class)方面的工作;一个是华罗庚在
多复变函数方面的工作,一个是冯康在有限元计算方面的工作。我为什
么单讲华先生在多复变函数方面的工作,这是我个人的偏见。华先生在
数论方面的贡献是大的,可是华先生在数论方面的工作不能左右全世界
在数论方面的发展,他在这方面的工作基本上是从外面引进来的观点和
方法。可是他在多复变函数方面的贡献比西方至少早了10年,海外的数
学家都很尊重华先生在这方面的成就。所以,我们一定要找自己的方
向,我想这是一个很重要的看法。我们要从数学的根本上找研究方向,
我们近20年来基本上跟随外国的潮流。我们没有把基本的想法搞清楚,
所以始终达不到当年陈先生、华先生或冯先生他们的工作。我想我们一
定要找自己的方向,可是我们在很多方面的知识还是很缺乏。我们一定
要在了解了其他方面的发展后才能发展自己的方向。所以一方面要发展
自己的方向,一方面要了解其他方向的发展。我下面举个例子讲。

分析方面我以为非线性微分方程是主要方向,可是为了研究非线性方
程,线性方程和古典的调和分析基础一定要打好。当然特殊函数、傅里
叶分析(special function、Fourier analysis)都是主要工具。可是非线性
方程不宜作太一般的研究,一定要与微分几何、物理学以及其他自然科
学相结合,由大自然指导我们研究。双曲型方程无论线性、非线性都值
得发展,我们要发展自己的特色。中国这10多年在守恒定律
(conservation law)、空气动力学(gas dynamics)方面有一定的成就,可
是在高维空间[即空间维数(space dim≥2)]没有贡献。这方面我觉得
是重要的,不仅中国没有贡献,而且全世界也没有贡献。从数学分析上
讲,高维空间的动力系统很明显与几何有密切联系,因为维数大了的
话,有几何的意义在里面,当然张量分析是研究高维空间的重要工具。
椭圆型方程的奇异点问题也值得深入研究。

离散化的动力系统和离散组合数学在应用科学方法起着很大的作用,它
们的发展应该与上述的非线性方程理论平行发展。近代自动化系统的研
究和金融数学都有很值得研究的随机性方程。

从基本粒子方程推导流体力学方程是很有意义的一门学问,流体力学中
的奇异点问题和湍流的研究将是未来一个很具挑战性的数学问题。

几何方面我们其实有很多方面可以作研究的,如:爱因斯坦方程的深入
研究、极小化流形、规范场等。几何研究方面的重要突破需要深入的存
在性定理。三维空间和四维空间的深入理论和方程的存在性理论有密切
的关系。同时古典中的刚性问题、嵌入问题、曲面的构造问题都与工程
学息息相关,很值得研究。

代数方面以代数几何、数论为主。Hodge猜测是主要的研究对象,其与
矢量丛(vector bundle)的关系也值得研究。另外,由弦(string)理论引起
的代数和数论问题也值得研究,统一场论将会作成数学的大一统,很值
得注意。
数论方面以Langlands理论和算术几何(arithmetic geometry)为主要方
向。

最后,我再讲几句话。我前面讲的主要与物理有关,其实,实际工作中
很多问题跟我们纯数学有很大关系。举个例子讲,我最近遇见几个曾是
清华大学的学生,他们现在在哈佛念工程专业。他们跑来和我谈计算几
何方面的问题,如把图像运动表示出来等。我发现这些学生由于念工程
的缘故,在微分几何方面完全没有得到培训,其实主要问题都是古典的
几何问题。念工程的学生没有得到基本的训练,他们对很多问题没有办
法了解,这是一个不幸的情景。在本科时应该让他们把一些基本课程练
好,很明显这和以后有关。作一个图形表示问题很明显和古典微分几何
有关,可是没有学好。所以,我希望学工程的人花一点时间在纯数学上
去,我想打破门户之见是目前最重要的问题。


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