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发信人: fengzhiying (风之影), 信区: CMCS
标 题: 球装问题
发信站: 荔园晨风BBS站 (Fri Dec 8 15:13:36 2006), 站内
球装问题(Sphere Packing)
如何把一定的空间装得最紧，显然是一个实际而重要的问题。项武义教授最近在这方面
做了很重要的工作。这里先介绍一个有关的问题：围着一个球，可以放几个同样大小的球
？
我们不妨假定球的半径为一，即单位球。在平面情形，绕一单位圆我们显然可以放6个单
位圆。而在三维空间的情况则更为复杂。如果把单位球绕单位球相切，不难证明，12个
球是放得进的。这时虽然还剩下许多空间，但不可能放进第13个球。要证明这一结论并
不容易。当年Newton与Gregory有个讨论。Newton 说第13个球装不进，Gregory说也许
可以。这个争论长期悬而未决。一直到1953年，K.Schutte和B.L.van der Waerden才给了
一个证明。这个证明是很复杂的。
一个更自然的问题是怎样把一个立方体空间用大小相同的球装得最紧。衡量装得是否
紧凑的尺度是密度(density)，即所装的球的总的体积和立方体空间的体积的比例。
Kepler于1611年提出了一个猜想：他认为立方体的球装的密度不会大于π/(18^1/2).
项武义说他证明了这个猜想。可是有人(Gabor Fejes Toth)认为他的证明不完全，甚
至有人(Thomas L.Hales)说是错误的。"Mathematical Intelligencer"这个杂
志上(1995年),有关于这一问题的讨论，项武义有个答复。Toth 是匈牙利数学家，三代
人搞同一个课题。匈牙利数学很发达，在首都布达佩斯有个200多人的几何研究所。我不
知道几何中是否有这么多重要的问题需要这么多人去做。最年轻的Toth在“Mathematics
Reviews"中有篇关于项的文章的评论。他说项的文章有些定理没有详细的证明。天下的事
情就是这样。做重要工作有争议的时候，便产生一些有趣的现象。不过他觉得项的意思是
对的。不但项的意思是对的，甚至表示这个意思他从前也有。最近项武义抒他认为没有的
证明都有写出来了。
最主要的，我要跟大家说的是立体几何在数学中是很重要而因难的部分。即使平面几何也
可能很难。到了立体时，则更为复杂。近年来对碳60(C60)的研究显示了几何在化学中的
应用。多面体图形的几何性质对固态物理也有重大的作用。。球装不过是立体几何的一个
问题。立体几何是大有前途的。
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