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发信人: fengzhiying (风之影), 信区: CMCS
标 题: 《数学：确定性的丧失》---H彭加勒
发信站: 荔园晨风BBS站 (Fri Dec 8 15:35:29 2006), 站内
《数字：确定性的丧失》
“若想预见数学的未来，正确的方法是研究它的历史和现
状。” ----H·彭加勒
战争、饥荒和瘟疫能引起悲剧，然而，人类思想的局限性也
能引起智力悲剧。本书论及的不幸事件降临在人类最为卓著且无
与伦比的成就，对人类的理性精神具有最持久和最深刻的影响
——数学的头上。
换句话说，这本书在非专业层次上探讨数学尊严的兴衰。看
到数学现在的宏大规模，日益增多甚至呈繁荣之势的数学活动，每
年发表的数以千计的研究论文，对计算机兴趣的 该头 涨，以及
尤其是在社会科学和生物科学中对定量关系的广泛研究，数学的
衰落何从谈起？悲剧存在于何处？要回答这些问题，我们必须首
先考虑是什么为数学赢得了巨大的声望和荣誉。
作为一个独立知识体系的数学起源于古希腊，自它诞生之日
起的两千多年来，数学家们一直在追求真理，而且成就辉煌。关
于数和几何图形的庞大理论体系为数学提供了一个看来似乎永无
休止的确定性前景。
在数学以外的领域，数学概念及其推论为重大的科学理论提
供精髓。尽管通过数学和科学的合作才获得的知识用到了自然定
律，但它们看来似乎与绝对的数学真理一样绝对可信，因为天文
学、力学、光学、空气动力学中的数学所做的预测与观察和实验
相当吻合。因此，数学能牢固把握宇宙的所作所为，能瓦解玄秘
并代之以规律和秩序。人类得以趾高气扬地俯瞰他周围的世界，吹
嘘自己已经掌握了宇宙的许多秘密（实际上是一系列数学定理）。
拉普拉斯的话概括了数学家们一直在不懈地寻求趔的信念。他
说，牛顿是最幸运的人，因为只有一个宇宙，而他已发现了它的
规律。
数学依赖于一种特殊的方法去达到它惊人而有力的结果，即
从不证自明的公理出发进行演绎推理。它的实质是，若公理为真，
则可以保证由它演绎出的结论为真。通过应用这些看起来清晰、正
确、完美的逻辑，数学家们得出显然是毋庸置疑、无可辩驳的结
论。数学的这套方法今天仍然沿用，任何时候，谁想找一个推理
的必然性和准确性的例子，一定会想到数学。
这种数学方法所取得的成功吸引了最伟大的智者，数学已显
示了人类理性的能力、根源和力量。所以他们猜测，为什么不能
把这种方法用到由权威、风俗、习惯控制的领域，比如在哲学、神
学、伦理学、美学及社会科学中去寻求真理呢? 人类的推 理能力，
在数学及自然科学中，是如此的卓有成效，肯定也将成为上述其
他领域思想和行为的主宰，为其获得真理的美和美的真理。因此，
在称作理性时代的启蒙时代，数学方法甚至加上一些数学概念和
定理，用到了人文事务中。
《床 力最丰富的来源是后者。１９世纪?的创造，包括令人奇
怪的几各几何学和代数学，迫使数学家们极不情愿地勉强承认绝
对意义上的数学以及科学中的数学真理并不都是真理。例如，他
们发现几种不同的几何学同等地与空间经验相吻合，它们可能都
不是真理。显然，自然界的数学设计并不是固有的，或者如果是
的话，人类的数学都未必是那个设计的最好诠释。开启真理的钥
匙失去了，这一事实是降临到数学头上的第一个不幸事件。
新的几何学和代数学的诞生使数学家们感受到另一个宇宙的
震动。寻求真理的信念使数学家们如醉如痴，总是迫不及待地用
严密论证去追求那些虚无飘渺的真理。认识到数学并不是真理的
化身动摇了他们产生于数学的那份自信，他们开始重新检验他们
的创造。他们捻地发现数学中的逻辑形容枯槁，惨不忍睹。
事实上，数学已经不合逻辑地发展。其不公包括错误的证明，
推理的漏洞，还有稍加注意就能避免的疏误。这样的大错比比皆
是。这种不合逻辑的发展还涉及对概念的不充分理解，无法真正
认识逻辑所需要的原理，以及证明的不够严密；就是说，直觉、实
证及借助于几何图形的证明取代了逻辑论证。
不过，数学仍然是一种对宇宙的有效描述，而且在许多人心
里，特别是在柏拉图主义者看来，数学自身当然还是一个颇具魅
力的知识体系，一个因具真实性而受到青睐的部分。因此，数学
家们决定弥补丢失了的逻辑结构，重建有缺陷的部分。在１９世纪
下半叶，数学的严谨化运动格外引人注目。
到１９００年，数学家砍他们已实现了自己的目标。尽管他们
不得不满足于数学仅能作为宇宙的一个近似描述的观点，许多人
甚至放弃了宇宙的数学化设计这一信念，但他们的确庆幸他们重
建了数学的逻辑结构。然而，他们还没来得及炫耀自封的成功，在
重建的数学中就发现了矛盾。一般称这些矛盾为悖论，这是避免
直接说矛盾而破坏了数学逻辑的委婉用语。
当时那些领头的数学家几乎立刻就投身于解决这些矛盾，结
果他们构想、阐述甚至推出了四种不同的数学结构，每一种都有
众多的追随者。那些基础的学派不仅努力解决已有的矛盾而且力
争避免新的矛盾出现，就是说，建立数学的相容性。在这些基础
研究中又出现了其他的问题，某些公理和演绎逻辑推理的可接受
性也成为几个学派采取不同立场的重要原因。
到１９３０年，数学家已满足于接受几种数学基础的一两个，并
且宣称自己的数学证明至少和这些学派的原则相符。但是，灾难
再次降临，形式是Ｋ. 哥德尔的一篇著名论文。哥德尔证明了那几
个学派所接受的逻辑原理无法证明数学的一致性。这还不包括论
文里其他一些意义重大、影响深远的结果。哥德尔表明，对已取
得的成功提出质疑不能不用到非常可疑的逻辑原理。哥德尔定理
引起一声巨变。随后的发展带来了更大的麻烦。例如，就连过去
极度推崇的、被认为是精密科学方法的公理化－－演绎方法看来
也是有缺陷的。这些新的发展给数学增加了多种可能的结构，同
时也把数学家分成了更多的相异群体。
数学的当前困境是有许多种数学而不是只有一种，而且由于
种种原因每一种都无法使对立学派满意。显然，普遍接受的概念、
正确无误的推理体系－－１８００年时的尊贵数学和那时人的自谊
－－现在都成了痴心亡想。与未来数学相关的不确定性和可疑，取
代了过去的确定性和自满。关于“最确定的”科学的基础意见不
一致不仅让人吃惊，而且，温和一点说，是让人尴尬。目前的数学
或是故作深沉，或是对广泛承认的真理，所谓完美无缺的逻辑
的拙劣模仿。
因完美的数学是什么而产生，的危机和矛盾还阻碍了数学的方
法在许多其他文化领域中的应用，如哲学、政治科学、伦理学、美
学。找到客观、正确的定律和标准的希望变得微弱了，理性时代
已经过去。
尽管数学令人不满意，方法复杂多变，对可接受公理持不同
意见，还有随时可能出现的新矛盾，都会殃及大部分数学，但是，
一些数学家仍然把数学应用于自然现象中，而且事实上把应用领
域扩大到经济学、生物学和社会学。数学的继续有效给我们两点
启示。第一点是这种有效性可用作判别正确性的准则，当然这个
准则是暂时性的，今天认为正确的，也许下次应用时就会证明是
错的。第二点涉及到未知。真正的数学是什么? 对此并无定论。为
什么数学依旧有效? 我们是在用不完美的工具制造奇迹吗? 如果
人类已经被欺骗了，大自然也会受骗而屈服于人类的数学命令吗?
显然不会。而且，正是凭借建立在数学之上的技术，人类成功地
登上了月球，深测了火星和木星。这难道不是对宇宙中的数学理
论的证实吗? 那么，数学的人为因素与变幻莫测又何从谈起呢? 当
心智和灵魂迷惘不定的时候，躯体能生存下去吗? 当然对于人类
本身及数学，确实如此。因此我们应该去研究为什么会这样。尽
管数学的基础沿不确定，数学家们的理论亦彼此冲突，而数学却
已被证明成就辉煌，风采依然。
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假如给多奶奶一秒钟，我想再对奶奶说：“我爱你”。
假如给多奶奶一分钟，我想再拉拉奶奶的手。
假如给多奶奶一小时，我想再听奶奶给我讲故事。
假如给多奶奶一天 ，我想再陪奶奶去逛逛街；到市场去买菜，再吃奶奶煮的饭菜。
假如给多奶奶一个月，我很想陪奶奶去游览祖国秀美山河。
假如给多奶奶一年 ，我一定好好听奶奶的话认认真真的读书。
※ 修改:·fengzhiying 于 Dec 8 16:00:25 修改本文·[FROM: 218.17.74.57]
※ 来源:·荔园晨风BBS站 bbs.szu.edu.cn·[FROM: 218.17.74.57]
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