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发信人: kaman (Time Hunter), 信区: ACMICPC
标 题: 完全数（perfect number）
发信站: 荔园晨风BBS站 (Sat Feb 3 11:40:48 2007), 站内
一个正整数n，如果其全部因数的和等于2n，则称n为完全数。例如6的因数和1+2+3+6＝12，
28的因数和1+2+4+7+14+28＝56，所以6和28都是完全数。
公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已知6和28是完全数。欧几里得
在《几何原本》中对完全数作了进一步的研究。他定义：“完全数是等于其因数之和者。”
并在该书第9卷中给出了一个关于完全数的定理：若一个级数（从1开始）的（素数）p项之
和:
1+2+2^2+2^3+...＋2^(p-1)
是素数，那么这个和同最末一项的乘积为完全数。即如果p和2^p-1均为素数，则
2^(p-1)*（2^p-1）是一个完全数。
古希腊人在公元1世纪以前已经知道4个完全数：6，28，496和8128。第5个完全数是
33550336＝2^12（2^13-1），它是15世纪发现的。主要的问题显然是形如2^p-1的数（p为素
数）是否为素数，这恰恰就是梅森素数。18世纪，欧拉证明了，每一个偶完全数n都具有欧
几里得指出的形式，即如果n是偶完全数，则n=2^(p-1)（2^p-1），其中p与2^p-1为素数。
1911年，迪克森给出上述结果的一个简单的证明。这就把完全数与梅森素数联系起来了，至
今共发现了37个偶完全数，其最大者为23021376（23021377-1）（见梅森数）。
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———— Donald E. Knuth
※ 来源:·荔园晨风BBS站 bbs.szu.edu.cn·[FROM: 192.168.111.200]
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