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发信人: piratex (magicpiratex), 信区: Program
标 题: Re: 求编程高手（约瑟夫猜想）
发信站: 荔园晨风BBS站 (Sun Apr 29 09:29:02 2007), 站内
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无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来
比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是
没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不
是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始
报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环
（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是
最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回
去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解
呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写
递推公式：
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生
活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：
＃i nclude <stdio.h>
main()
{
int n, m, i, s=0;
printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);
for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;
printf ("The winner is %d\n", s+1);
}
这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，
一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往
往会成倍地提高算法执行效率。
【 在 laidongjie (lai) 的大作中提到: 】
: 六个小孩围成一个圆圈，分别给他们标志为1，2，……，6。从第一个小孩开始数数1
，数到3的小孩要出列；然后刚出列的小孩的下一个又开始数数1，数到3的小孩又要出列，
……这样循环下去，问：1.最后剩下的小孩的标志号是多少？写出源程序。
: 2.依次排出出列的小孩的标志号。
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※ 来源:·荔园晨风BBS站 http://bbs.szu.edu.cn·[FROM: 121.71.29.212]
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