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发信人: monica (怎么报告你), 信区: UIBE
标 题: 2.2 湍动的维数
发信站: BBS 水木清华站 (Mon Apr 5 22:39:01 2004), 转信
2.2 湍动的维数
试图搞清湍流发生步骤的第一代现代科学家当中，有一位苏联物理学家。
此人便是1962年因超流氦理论荣获诺贝尔奖的列夫·朗道(Lev Landau)，他认识到，当流
体内部的运动变得越来越复杂时，湍流就开始发展起来。很象列奥那多，他设想发生大量分
岔之后，整体湍动就出现了。
朗道的理论在1948年名声大振，当时德国科学家厄伯哈特·霍普夫(Eberhard Hopf)发明了
一种描述分岔导致湍动的数学模型。
对于一条平缓流动的小河，描述流体的参数恒定不变。即使扔一块石头扰动小河，不久它
也能安顿下来，返回到层流状态。因为确定小河流动的变量没有改变，于是水的流动恰好可
以用相空间中的一个点(一个点吸引子)来代表。此时，这个点表示水的恒定速度。
对于较快速流动的河水，平缓流动被振荡所改变，这时出现稳定的涡旋。不过这种流动仍
然相当规则，可用一个极限环来刻划。即使一块石头被扔进河里用以扰动水的流动，受扰动
的小河也总会返回同一个基本振荡，即同一个稳定涡旋。
图2.7,图2.8
但是，这样一种描述有点矛盾：当河水的流速较低时，其运动可由一个点吸引子很好地描
述；但当速度增加时，就要用极限环吸引子去描述。显然其间应存在一个临界点，在这一点
上对小河流动行为的描述，将从一种吸引子跳跃到另一种吸引子上去。这个临界点的不稳定
性现在称为霍普夫不稳定性。
霍普夫进而设想存在一连串进一步的不稳定性。第一个不稳定性牵涉从点吸引子到极限环
的跳跃。随之而来的是，突然出现三维的轮胎形状的环面吸引子，然后是四维、五维、六维
的环面，以及维数继续不断增加的环面。
霍普夫和朗道的图景直觉上好象很合理，它使人想起列奥那多所画的涡旋套涡旋。不过，
实验并没有证实这一模型所预言的高维环面。相反，对于某些系统的观测表明，虽然开始时
从有序流动向无序流动的转变，与朗道和霍普夫描述的一样，但是系统随后通向浑沌却遵循
了另一条更迷人、更精致的道路。
当热空气从沙漠上上升、热的水汽盘旋着从炒锅锅底升腾时，会出现叫做贝纳(Be
nar d)不稳定性的对流。1982年有人对这类对流的不稳定性做了一项细致的实验。研究人员
考察了这种特别的贝纳不稳定性，发现湍流的出现比霍普夫的假说所暗示的要快得多。
法国高等科学研究院的物理学家戴维·吕埃尔(David Ruelle)在弗洛瑞斯·塔肯斯
(Floris Takens)的帮助下，对浑沌的这种快速出现创立了一种新理论。
吕埃尔第一个用“奇怪”来命名湍动和浑沌吸引子。对于对流的平缓流动，他同意朗道和
霍普夫的观点，即层流让位于第一级振荡，点吸引子跳跃到了极限环，此后极限环变成了环
面。但是吕埃尔证明，在第三次分岔时，某种近乎科幻小说式的东西出现了。系统不是由二
维环面跳到四维空间中的三维环面，而是环面本身开始解体!系统的环面进入了一种〖HTH〗
分数〖HTSS〗维数的空间。换句话说，环面吸引子的表面实际上镶嵌在二维的平面与三维的
立体〖HTH〗之间〖HTSS〗。
为了弄懂这是什么意思，我们来考虑一张纸，一个二维的东西。(当然，实际上纸是三维的
，有一维非常薄。不过，至少在比喻的意义上，可把它视为对数学平面的相当好的近似。)
把纸揉搓起来。纸团压得越紧，它折叠得就越浑沌，二维的面就越接近于变成了三维的体。
贝纳对流就类似于揉搓纸团，或者象一种在两个世界之间无法作出选择的科幻人物。相流玩
命地作出动摇不定的“努力”，欲逃向高维，又想返回低维，在高低两个维数之间“优柔寡
断”，无穷无尽地到处游荡着、揉搓着。因此，这种犹豫不决的维数不是整数维(不是二维
也不是三维)，而是分数维。这种犹豫不决的轨迹就形成了奇怪吸引子。
图2.9
哈佛福特学院的哈里·斯维尼(Harry Swinney)与德克萨斯大学奥斯汀分校的杰瑞·格鲁巴
( Jerry Gollub)设计了一项惊人的实验，支持了吕埃尔的看法(见图2.9)。此实验做的是流
体在两个圆筒之间的运动。当内圆筒旋转时，保持外圆柱不动。这会导致流体在不同部分有
不同的流速。当转速较低时，流体均匀流动。但当转速增加时，第一霍普夫不稳定性出现了
。此时流体象扭动的绳子一样，通过一系列内部旋转而运动着。
当第二霍普夫分岔到来时，出现了一种新型的内部旋转，流体以两个不同频率振荡着，扭
转的复杂性增大了。当旋转速度进一步增加时，规则运动变成了随机起伏。若在相空间中画
出图来，轨道自身压成了具有分数维的奇怪吸引子。
当科学家分析这些实验的意义时，他们开始越来越勇敢地面对湍动的嘲弄。湍动的出现是
由于运动的各个组分之间彼此关联，任何一组分的活动都依赖于其它组分，各个组分之间的
反馈形成了更多的组分。
秩序解体成湍动(奇怪吸引子)，反映了系统有深层无穷内部相关性，抑或反映了其整体性
? 尽管事情似乎很奇怪，但已有证据指向了这个方向。
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※ 来源:·BBS 水木清华站 smth.org·[FROM: 162.105.31.*]
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