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何小亚肖像画。 本栏目画家张武昌绘
图二
数学是什么?要真正回答好并不容易,数学家对此也有争论。笔者无意介入,只是从科普的角度阐释一下,数学玩什么,如何看待数学,其价值何在。
数学玩数量关系、玩空间形式、玩模式。追根溯源,代数系统的产生基于数系的发展,而数的来源,中国道家认为,道生一,一生二,二生三,三生万物。一是单点集合的标志,一生于道,而道即玄,即深奥、神妙。几何系统最基本的元素是点,点动成线,线动成面,面动成体。几何中的点是抽象的,可以标明位置,但没有大小、范围。“一”和“点”在真实世界里是不存在的,由它俩演绎出来的代数和几何在真实世界里也是不存在的。数学世界是人类思维的存在。
我认为,数学追求的是精确、严谨、简洁、概括、统一。这是数学独有的、有别于其他学科的特点。
离开数学的精确,无法真正定义“多”“少”“远”“近”。人眼最多能分辨0.1毫米的差异,数学的精确可以使我们超越感知器官的局限,更好地认识微观世界。如果将短线段上的点与长线段上的点建立一一对应关系,那么它们上面的点的数量就是相同的,尽管这看起来如此不可思议。
数学本质上是从定义、公理、公设出发,按照逻辑推理规则,得出的一套演绎系统。数学的严谨表现在两方面:一是举反例的思维方式,这是数学不同于社会科学和实验科学的一大特点;二是其逻辑性,包括形式逻辑和辩证逻辑。在形式逻辑方面,要求概念和判断必须保持一致,判断要有充分根据,不自相矛盾,不模棱两可。在辩证逻辑方面,要求抓住数学中各式各样的矛盾(已知与未知、常量与变量、有限与无限、一般与特殊、直与曲……)进行分析转化。转化的策略一般有:化陌生为熟悉、化繁为简、顺推与逆推之结合、动与静之转化、数形结合、一般与特殊之互化…….
追求简单化是数学的灵魂,从一定意义上来说,数学是因为人类追求简单而诞生的。为节约时间和人力物力,人类在树干上刻痕计数,用0,1-9数字、进位制以及小数点,就可以表示超大的数,无限接近0的数;加法就是计数的简化;乘法就是复杂加法的简化。比如,写出10000个2相加。若写10000个2,9999个加号,麻烦无比,怎么办?简化它,写一个2,把加号旋转45度,取名为乘号,于是“10000个2相加”就简化为“2×10000”,这就是乘法,太简洁了。对初中生来说,乘方不是新运算,小学时就学过。乘方就是对复杂乘法的简化。比如,写出“10000个2相乘”。若写10000个2,9999个乘号,麻烦无比,怎么办?简化它,写一个2,乘号也不用了,在2的右上角写上“10000”。这就是乘方,太简洁了。有了乘方,知道幂和指数,求底数就是开方;知道幂和底数,求指数就是求对数。
数学追求至简的另一个典型是自然数的立方和公式:(见图二)
对于加法运算次数,公式两边都一样。但对于乘法,左边要算2n次,而右边却简化为只算一次。想象一下,如果n=1亿亿亿,那么左边要算2亿亿亿次乘法,那要占据多少内存,要花多少时间和算力,而右边就只需算一次。真是大道至简!
数学最精彩的是概括性,即以一个有限的模式驾驭无穷的具体,让人叹服。请看平面向量基本定理:想象一下平面上有多少个向量?向量有长有短,长至十万八千里,短至1纳米,还有无穷无尽的方向,这么多无穷无尽的向量如何掌控,太复杂了。不过,所有向量都逃不出数学的手心。对于平面上的任意一个非零向量,在这个平面上随意选定两个不共线的向量i和j,分别过起点A和终点B作直线a平行于i,直线b平行于j,因为i和j不共线,所以直线a、b必然交于一点,根据向量的三角形法则和数乘向量就可得出AB=mi nj。这么多无穷无尽的向量居然可以只用两个不共线的已知向量i和j线性表示。为了更简单,可以取i和j为正交的单位向量。平面向量基本定理就是这样简单、强大,强大到以一个有限的模式驾驭无穷的具体。平面向量基本定理就是数乘向量的推广,而且还可以推广到三维空间,其方法、结果形式几乎是一样的。数学是联系的、统一的,代数中的统一,几何中的统一,代数与几何的统一。